题目

已知：如图，在矩形ABCD中，E为CB延长线上一点，CE=AC，F是AE的中点．

（1）求证：BF⊥DF；
（2）若AB=8，AD=6，求DF的长．

提问时间：2020-10-01

答案

（1）证明：
连接BD交AC于O，连接FO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AC=BD=2AO=2CO，AO=CO，
∵F为AE中点，
∴FO=

1

2

CE，
∵AC=CE，
∴FO=

1

2

AC=

1

2

BD，
即FO=OB=OD，
∴∠DFB=90°，
即BF⊥DF；
（2） ∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，由勾股定理得：BD=AC=10=CE，
∴BE=10-6=4，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE=

82+42

=4

5

，
∵F为AE中点，
∴BF=

1

2

AE=2

5

，
在Rt△DFB中，DF=

BD2-BF2

=

102-(2 5 )2

=4

5

．

（1）连接BD交AC于O，连接FO，根据矩形的性质得出∠ABC=90°，AC=BD=2AO=2CO，AO=CO，推出OF是三角形AEC的中位线，得出2FO=EC=AC=BD，根据直角三角形的判定推出直角即可；
（2）求出AC和BD，得出CE长，求出BE，根据勾股定理求出AE，求出BF，在△BFD中，由勾股定理求出DF即可．

本题考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．

考点点评：本题考查了矩形性质，直角三角形斜边上中线性质，勾股定理等知识点的运用，灵活运用直角三角形斜边上中线的性质是解此题的关键，即求出FO=OB=OD，题目比较好，但有一定的难度．