题目

已知：如图，▱ABCD中，AD=2AB，将CD向两边分别延长到E，F使CD=CE=DF．求证：AE⊥BF．

提问时间：2020-10-01

答案

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABH=∠F，
∵CD=CE=DF，
∴AB=DF，
在△ABH和△DFH中，

∠ABH＝∠F ∠AHB＝∠DHF AB＝DF

，
∴△ABH≌△DFH（AAS），
同理：△ABG≌△ECG，
∴AH=DH，BG=CG，
∵AD=2AB，
∴AH=AB=BG，
∴∠ABH=∠AHB，∠BAG=∠AGB，
∵∠CBH=∠AHB，∠DAG=∠AGB，
∴∠BAG=∠DAG，∠ABH=∠CBH，
∵∠DAB+∠ABC=180°，
∴∠BAG+∠ABH=90°，
∴AE⊥BF．

由▱ABCD中，CD=CE=DF，易证得△ABH≌△DFH（AAS），△ABG≌△ECG，又由AD=2AB，可得△ABH与△ABG是等腰三角形，继而可得AG与BH是角平分线，即可证得结论．

本题考点：平行四边形的性质．

考点点评：此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．