题目

已知函数y=f（x）定义R上的奇函数，且x＞0时，f（x）=x-1
（1）求f（0）；
（2）当x＜0时，求f（x）的解析式；
（3）画出y=|f（x）|在R上的图象，并由图象讨论m指出关于x的方程|f（x）|=m（m∈R）的根的个数（不需要说明理由）．

提问时间：2020-10-01

答案

（1）∵函数y=f（x）定义R上的奇函数
∴f（-0）=-f（0）
∴f（0）=0
（2）设x＜0，则-x＞0
∵x＞0时，f（x）=x-1
∴f（-x）=-x-1
∵函数y=f（x）定义R上的奇函数
∴f（x）=-f（-x）=x+1
（3）∴f（x）=

x−1，x＞0 0，x＝0 x+1，x＜0

，其图象如图所示
结合函数的图象可知，①当m＞1或m=0时，方程有2个根
②m=1时，有3个根
③0＜m＜1时，有4个根
④m＜0时，没有根

（1）由已知可得f（-0）=-f（0），进而可求f（0）
（2）设x＜0，则-x＞0，然后结合已知x＞0时，f（x）=x-1及函数y=f（x）定义R上的奇函数可求
（3）由f（x）=

x−1，x＞0 0，x＝0 x+1，x＜0

，及函数的图象变换可作出函数的图象，结合图象即可判断

本题考点：函数解析式的求解及常用方法；函数图象的作法；函数的值；根的存在性及根的个数判断．

考点点评：本题主要考查了函数的奇偶性在函数的函数值及函数的解析式求解中的应用及方程的根与函数的图象交点的相互转化，体现了 数形结合思想的应用．