题目

抛物线y=-x^2/2与过点M（0,1）的直线l交于A,B两点,O为原点,若OA和OB的斜率之和为1,求直线l的方程
RT

提问时间：2020-09-30

答案

个人感觉是不存在这样的直线l.
假设存在,亦知l与x轴垂直时不满足条件,l与x轴平行时亦不满足条件,所以可以设出l的方程为y=kx+1,与抛物线方程y=-x^2/2联立,整理得：x^2+2kx+2=0
因为直线与抛物线交于两点,所以该方程的Δ>0,即有k^2>2
设A坐标为(x1,y1),B(x2,y2)
则有x1+x2=-2k,x1x2=2
已知kOA+kOB=1,所以y1/x1+y2/x2=1
而y1=kx1+1,y2=kx2+1,代入整理得：(kx1+1)x2+(kx2+1)x1=x1x2
(2k-1)x1x2+(x1+x2)=0,代入x1+x2,x1x2,可得2(2k-1)-2k=0,k=1
不满足k^2>2的条件,故不存在这样的直线l.