题目

在△ABC中，AB=2

5

，AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．

提问时间：2020-09-30

答案

∵AC=4，BC=2，AB=2

5

，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ACB为直角三角形，∠ACB=90°．
分三种情况：
如图（1），过点D作DE⊥CB，垂足为点E．
∵DE⊥CB（已知）
∴∠BED=∠ACB=90°（垂直的定义），
∴∠CAB+∠CBA=90°（直角三角形两锐角互余），
∵△ABD为等腰直角三角形（已知），
∴AB=BD，∠ABD=90°（等腰直角三角形的定义），
∴∠CBA+∠DBE=90°（平角的定义），
∴∠CAB=∠EBD（同角的余角相等），
在△ACB与△BED中，
∵∠ACB=∠BED，∠CAB=∠EBD，AB=BD（已证），
∴△ACB≌△BED（AAS），
∴BE=AC=4，DE=CB=2（全等三角形对应边相等），
∴CE=6（等量代换）
根据勾股定理得：CD=2

10

；
如图（2），过点D作DE⊥CA，垂足为点E．
∵BC⊥CA（已知）
∴∠AED=∠ACB=90°（垂直的定义）
∴∠EAD+∠EDA=90°（直角三角形两锐角互余）
∵△ABD为等腰直角三角形（已知）
∴AB=AD，∠BAD=90°（等腰直角三角形的定义）
∴∠CAB+∠DAE=90°（平角的定义）
∴∠BAC=∠ADE（同角的余角相等）
在△ACB与△DEA中，
∵∠ACB=∠DEA（已证）∠CAB=∠EDA（已证） AB=DA（已证）
∴△ACB≌△DEA（AAS）
∴DE=AC=4，AE=BC=2（全等三角形对应边相等）
∴CE=6（等量代换）
根据勾股定理得：CD=2

13

；
如图（3），过点D作DE⊥CB，垂足为点E，过点A作AF⊥DE，垂足为点F．
∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵∠DAB+∠DBA=90°，
∴∠EBD+∠DAF=90°，
∵∠EBD+∠BDE=90°，∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠DBE=∠ADF，
∵∠BED=∠AFD=90°，DB=AD，
∴△AFD≌△DEB，
则ED=AF，
由∠ACB=∠CED=∠AFE=90°，
则四边形CEFA是矩形，
故CE=AF，EF=AC=4，
设DF=x，则BE=x，
故EC=2+x，AF=DE=EF-DF=4-x，
则2+x=4-x，
解得：x=1，
故EC=DE=3，
则CD=3

2

．

根据题意中的△ABD为等腰直角三角形，显然应分为三种情况：∠ABD=90°，∠BAD=90°，∠ADB=90°．然后巧妙构造辅助线，出现全等三角形和直角三角形，利用全等三角形的性质和勾股定理进行求解．

本题考点：勾股定理的逆定理；全等三角形的判定与性质．

考点点评：此题综合考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理．