题目

已知二次函数y=1/2x²-x+m的图像经过点A（-3,6）,并与x轴交于B,C两点（点B在C左边）P为它的顶点
1.设点D为线段OC上的一点,且满足∠DPC=∠BAC,求直线AD的解析式
2.在y轴的正半轴上是否存在点M,使△PCM为等腰三角形,若存在,求出所有满足条件的点M坐标,若不存在,说明理由

提问时间：2020-09-30

答案

1.二次函数y=1/2x2-x+m的图像经过点A（-3,6）,求得m = -3/2 ,解析式：
y = (1/2)·x^2 - x - 3/2 ,求得：B(-1 ,0) ,C(3 ,0) ,P(1 ,-2) ,
K(AC)=(0-6)/(3+3) = -1 ,K(PC)=(0+2)/(3-1)=1 ,K(PB)=(0+2)/(-1-1)=-1 ,
K(AC)·K(PC) = -1 = K(PC)·K(PA) ,所以PC⊥AC ,PC⊥PB ,PB//AC ,
易证 PB = PC ,故△BPC是以P为顶点的等腰直角三角形 ,∠PCB=45°=∠ACB ,
在△ABC中 ,由正弦定理 ,BC/sinBAC = AB/sinACB ,求得：sinBAC = 1/√5
,所以 （sinBAC）^2 = 1/5 ；
设D(t ,0) ,DP^2 = (t -1)^2 + 4 ,CD = 3 -t ,∠PCB = 45°,在△PCD中 ,
利用正弦定理可得：（sinDPC）^2 = (3 -t)^2/[2(t -1)^2 + 8] ,
当∠DPC = ∠BAC时 ,有（sinBAC）^2 = sinDPC）^2 = (3 -t)^2/[2(t -1)^2 + 8] = 1/5 ,解方程得：t = 7 或 5/3 ,但由于D在OC上 ,故t∈（0 ,3）,
所以 t = 5/3 ,故D（5/3 ,0）,K(AD) = (6-0)/(-3 - 5/3) = -9/7 ,
利用点斜式：y - 6 = (-9/7)·(x + 3) ,所以AD的解析式为y=(9x+15)/7