题目

1.已知z是复数,z+2i、z/(z-i)均为实数(i是虚数单位),且复数(z+ai)^2在复平面上对应的点在第一象限,求a的范围.
2.已知z1=x^2+根号下(x^2+1) i、z2=(x^2+a)i对于任意x属于R均有|z1|>|z2|成立,试求a的取值范围.

提问时间：2020-09-30

答案

1.已知z是复数,z+2i、z/(z-i)均为实数(i是虚数单位),且复数(z+ai)^2在复平面上对应的点在第一象限,求a的范围.
这道题,根据前面的两个条件,可以直接求出z的值,再带到问题里面,就可以求出来啦.
这样,
z+2i是实数,因此z的虚部是-2i,此时设z=x-2i
z/(z-i)为实数：这个需要转化一下：
z（z+i）/(z^2+1)是实数,也就是(x-2i)*(x-i)=x^2-3ix-2为实数,可以发现,x=0
也就是说,
z=-2i
这样,复数(z+ai)^2=(ai-2i)^2=-4a^2.此时,只有a=0,才有点落在第一象限.
我觉得这道题的第二个条件z/(z-i)是不是有些问题啊?算出来的结果似乎不太对劲,但是过程是没问题的,还请楼主复核一下~
2.已知z1=x^2+根号下(x^2+1) i、z2=(x^2+a)i对于任意x属于R均有|z1|>|z2|成立,试求a的取值范围.
先从z2上下手,因为它的模长比较好求.
z2=(x^2+a)i,模长为|x^2+a|
看z1的模长：
为根号下（x^4+x^2+1）.
这就变成一个二次函数与一次函数比大小的问题了哈.
另x^2=y,则x在任意实数变化的时候,y>0
求的是
y^2+y+1>y^2+2ay+a^2这个不等式在y>0的区间上成立时,a的取值（将两者平方,并代换x^2为y）
(2a-1)y0
要求直线y=（2a-1）x小于直线y=1-a^2对所有的x>0成立,自然是要求倾斜直线斜率为负,且两线交点在y轴左侧.
因此,得到a