题目

如果矩阵A与矩阵B有相同的特征根,那么A与B相似吗?

提问时间：2020-09-30

答案

只是特征值都相同是不能保证相似的.
最简单的例子如2阶零矩阵和
0 1
0 0
都只有0特征值,但非零矩阵当然是不能和零矩阵相似的.
如果加上条件A,B均可对角化,那么可以证明相似.
因为A,B相似于同一个对角阵(对角线上为特征值).
特别的,如果特征值没有重根,我们知道A,B一定都可对角化,此时A,B一定是相似的.
如果学了Jordan标准型,就会明白相似不光要特征值相同,还要各特征值Jordan块的阶数对应相同.
而上述可对角化的条件就是说每个Jordan块都是1阶的,自然是相似的.
至于最开始的例子,零矩阵有两个1阶Jordan块,而下面的矩阵有一个2阶Jordan块,故不相似.