题目

椭圆的中心为坐标原点O,焦点在x轴上,离心率为√2/2,坐标原点到过右焦点F且斜率为1的直线n的距离为√2/2
1求椭圆的方程
2设过焦点F且与坐标轴不垂直的直线l叫椭圆于P,Q两点,在线段OF上是否存在点M(m,o),使得以MP,MQ为临边的平行四边形是菱形?若存在,求出m的取值范围,若不存在,说明理由

提问时间：2020-09-30

答案

1、设椭圆方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1,
离心率e=c/a=√2/2,
右焦点坐标（c,0）,
设右焦点F且斜率为1的直线方程为：y=x-c,或x-y-c=0,
坐标原点至直线距离d=|0-0-c|/√（1+1）=√2/2,
c=1,1/a=√2/2,
a=√2,b=√(a^2-c^2)=1,
∴椭圆方程为：x^2/2+y^2=1.
2、设过F点的直线方程为：y=k(x-1),其中k为PQ的斜率,（k≠0)
P(x1,y1),Q(x2,y2),x1>x2,
直线方程代入椭圆方程,x^2+2k^2(x-1)^2-2=0,
(1+2k^2)x^2-4k^2x+2k^2-2=0,
根据韦达定理,
x1+x2=4k^2/(1+2k^2),
x1*x2=2(k^2-1)/(1+2k^2),
y1=k(x1-1),
y2=k(x2-1),
以MP和MQ为邻边的平行四边形为菱形,则对角线互相垂直平分,
取PQ中点H,则PQ⊥MH,PQ是一对角线,MH是另一对角线的一半,
k2=-1/k,(两直线互垂直,则斜率互为负倒数),
Hx=(x1+x2)/2,Hy=(y1+y2)/2,
MH斜率k2=[(y1+y2)/2-0]/[(x1+x2)/2-m]
=(y1+y2)/(x1+x2-2m)=k(x1+x2-2)/(x1+x2-2m)
=k[4k^2/(1+2k^2)-2]/[ 4k^2/(1+2k^2)-2m],
=-k/(2k^2-mk^2-m),
-1/k=-k/(2k^2-mk^2-m),
m(2k^2+1)=k^2,
m=k^2/(1+2k^2)=1/(2+1/k^2),
∵k^2>0,
∴2+1/k^2>2,
∴1/(2+1/k^2)