题目

在棱长都为2的四面体ABCD中,E是AD中点,F是BC中点.求异面直线BE和CD所成角的余弦值AF与CE所成角余弦值

提问时间：2020-09-30

答案

取AC的中点为G,连接EG,知EG//CD. 知角BEG即为直线BE与CD所成的角
连接BG.在三角形BEG中国BE=BG =根号3. GE= 1.
故cos(角BEG)=[3+1-3]/[2*(根号3)*1]=1/[2*根号3] =(根号3)/6  (余弦定理)
再取BE的中点为H,  连接HF, 知EC//HF,  且HF=(1/2)EC = (根号3)/2. 
知:角AFH即为直线AF与CE所成的角.
在三角形AHF中,AF=根号3, FH=(根号3)/2. 
下面求AH. 在三角形ABE中,AEB为直角.角BAE=60度. AH 为一直角边上的中线.由勾股定理求得AH^2=AE^2+EH^2=1 +[(根号3)/2]^2=7/4,  得AH= (根号7)/2
仍由余弦定理,得cos(角AFH ) = [3+3/4 - 7/4]/ [2*(根号3)/2  *根号3]=2/3.