题目

在平面直角坐标系xoy中,已知圆C1：（x+3）2+（y-1）2=4和圆C2：（x-4）2+（y-5）2=4
（I）若直线l过点A（4,0）,且被圆C1截得的弦长为2根号3 ,求直线l的方程；
（II）设P（a,b）为平面上的点,满足：存在过点P的两条互相垂的直线l1与l2,l1的斜率为2,它们分别与圆C1和圆C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,试求满足条件的a,b的关系式．

提问时间：2020-09-29

答案

（1）由于直线x=4与圆C1不相交,所以直线l的斜率存在.
设直线l的方程为y=k(x-4),圆C1的圆心到直线l的距离为d,
因为直线l被圆C1截得的弦长为2,
所以d==1.
由点到直线的距离公式得d=,
从而k(24k+7)=0,即k=0或k=.
所以直线l的方程为y=0或7x+24y-28=0.
(2)设点P（a,b)满足条件,不妨设直线l1的方程为y-b=k(x-a),k≠0,
则直线l2的方程为y-b= (x-a).
因为圆C1和C2的半径相等,及直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等,