题目

已知a为实数,f(x)=(x-4)^2(x-a),(1)求导数
已知a为实数,f(x)=(x-4)^2(x-a),
(1)求导数
（2）若f'(-1)=0求f（x）在[-2,2]上的最大值和最小值
（3）若f（x）在（-∞,-2）和（2,+∞）上都是递增的,求a的取值范围

提问时间：2020-09-29

答案

(1)　f(x)=(x-4)^2(x-a)=(x^3-(8+a)x^2+(16+8a)x-16a
　　f '(x)=2(x-4)(x-a)+(x-4)^2
(2)　若f '(-1)=0　则在x=-1时,有驻点　f(-1)=－25(1+a),
　　由f '(-1)=0,即2(-1-4)(-1-a)+(-1-4)^2＝10(1+a)+25=0
　　解得：a＝-7/2
　　于是f(-1)=125/2
　　函数f(x)在两端点上的值分别为,f(-2)＝(-6)^2(-2+7/2)＝54
f(2)＝(-2)^2(2+7/2)＝22
　　故函数f（x）在[-2,2]上的最大值是：f(-1)=125/2；最小值是：f(2)＝22
(3)　若f（x）在（-∞,-2）和（2,+∞）上都是递增的,则在（-∞,-2）和（2,+∞）上有f '(x)＞0
　　于是必有f '(x)=3(x^2-4) (该二次式满足x在（-∞,-2）和（2,+∞）上时,大于0,且首项系数和
　　（1）中求出的f '(x)首项系数相同.）
　　同时,由（1）求得的导数,得到f '(x)=2(x-4)(x-a)+(x-4)^2＝3x^2-(16+2a)x+8a+16
　　(该式标明,无论a取值如何,都保证不了x取值为（-∞,-2）和（2,+∞）上时,大于0)