题目
求证方程ax2+2x+1=0有且只有一个负数根的充要条件为a≤0或a=1.
提问时间:2020-09-29
答案
充分性:当a=0时,方程变为2x+1=0,其根为x=−
,方程只有一个负根;
当a=1时,方程为x2+2x+1=0.其根为x=-1,
方程只有一个负根.
当a<0时,△=4(1-a)>0,方程有两个不相等的根,且
<0,方程有一正一负根.
必要性:若方程ax2+2x+1=0有且仅有一个负根.
当a=0时,适合条件.
当a≠0时,方程ax2+2x+1=0有实根,
则△=4(1-a)≥0,∴a≤1,
当a=1时,方程有一个负根x=-1.
若方程有且仅有一负根,则
∴a<0
综上方程ax2+2x+1=0有且仅有一负根的充要条件为a≤0或a=1
1 |
2 |
当a=1时,方程为x2+2x+1=0.其根为x=-1,
方程只有一个负根.
当a<0时,△=4(1-a)>0,方程有两个不相等的根,且
1 |
a |
必要性:若方程ax2+2x+1=0有且仅有一个负根.
当a=0时,适合条件.
当a≠0时,方程ax2+2x+1=0有实根,
则△=4(1-a)≥0,∴a≤1,
当a=1时,方程有一个负根x=-1.
若方程有且仅有一负根,则
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综上方程ax2+2x+1=0有且仅有一负根的充要条件为a≤0或a=1
首先充分性,分别讨论a=1,a=0,与a<0三种情形;其次怎么必要性,分别讨论a=0,与a≠0两种情形;
必要条件、充分条件与充要条件的判断.
本题借助充分与必要条件考查了一元二次方程根的存在问题,属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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