题目

已知直线l是过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点的一平面AB1D1与下底面ABCD所在平面的交线.求证：D1B1 平行于
已知直线l是过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点的一平面AB1D1与下底面ABCD所在平面的交线.求证：D1B1 平行于直线 l

提问时间：2020-09-29

答案

延长CB至E,使BE＝CB.
∵ABCD－AB1C1D1是正方体,∴DD1＝BB1、AD＝BC、∠ADD1＝∠EBB1＝90°,
∵BE＝CB、AD＝BC,∴EB＝AD,又DD1＝BB1、∠ADD1＝∠EBB1,∴△ADD1≌△EBB1,
∴AD1＝EB1.
∵ABCD－AB1C1D1是正方体,∴D1C1＝AB、B1C1＝BC、∠B1C1D1＝∠EBA＝90°.
∵B1C1＝BC、BE＝CB,∴B1C1＝EB,又D1C1＝AB、∠B1C1D1＝∠EBA,
∴△B1C1D1≌△EBA,∴B1D1＝EA.
由AD1＝EB1、B1D1＝EA,∴AEB1D1是平行四边形,∴A、E、B1、D1共面,且D1B1∥AE.
显然,AE是平面AC1D1、平面ABCD的交线,∴直线l＝AE,∴D1B1∥直线l.