题目

设f（x）在点x=0的某一邻域内具有二阶连续导数，且

lim

x→0

f(x)

x

=0，证明级数

∞

n＝1

f（

1

n

）绝对收敛．

提问时间：2020-09-29

答案

∵f（x）在点x=0的某一邻域内具有二阶连续导数，即f（x），f'（x），f''（x）在x=0的某一邻域均连续
且：

lim

x→0

f(x)

x

＝0
∴f（x）=f（0）=0

lim

x→0

f(x)−f(0)

x

＝0
∴f’（0）=0
∴

lim

x→0

f(x)

x2

＝

lim

x→0

f’(x)

2x

＝

lim

x→0

f’(x)−f’(0)

2x

＝

1

2

f’’(0)
∴

lim

n→∞

|

f( 1 n )

( 1 n )2

|是一常数
∴由比值判别法可知原级数绝对收敛

考查抽象级数收敛条件的判断

本题考点：绝对收敛与条件收敛；级数收敛的必要条件．

考点点评：判断是否绝对收敛，一般取绝对值，然后和一个已知是否收敛的级数作比值，根据极限值做出判断