题目

已知F1F2分别是双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)左右焦点,
过F1垂直于X轴的直线与双曲线交与A、B两点,若三角形ABF2是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围.

提问时间：2020-09-28

答案

∵F1是左焦点
∴F1A>F2A
∴∠F1AF2一定是锐角
∵AB⊥x轴
∴F2A=F2B
∠F1AF2=∠F1BF2
∵三角形ABF2是锐角三角形

∴只需∠AF2B是锐角
∵∠AF2F1=∠BF2F1=1/2∠AF2B<1/2*90°=45°
∴∠AF2F1=∠BF2F1<45°
将x=-c代入x^2/a^2-y^2/b^2=1
c^2/a^2-y^2/b^2=1
y=±b^2/a
∴AF1=b^2/a
F1F2=2c
tan∠AF2F1=AF1/F1F2<1
b^2/(2ac)<1
c^2-2ac-a^2<0
e^2-2e-1<0
1-√2<e<1+√2
∵双曲线
∴1<e<1+√2