题目

设二次函数f（x）满足：①f（x-2）=f（-x-2）；②它的图象在y轴上的截距为1；③它的图象在x轴上截得的线段长为2

2

．
试求f（x）的解析式．

提问时间：2020-09-28

答案

∵①f（x-2）=f（-x-2），∴函数f（x）图象关于x=-2 对称，设二次函数f（x）=ax²+bx+c，
则-

b

2a

=-2，②它的图象在y轴上的截距为1，∴c=1，
∵③它的图象在x轴上截得的线段长为2

2

，
∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2−4x1x2

=

(− b a )2−4 1 a

=

16− 4 a

=2

2

，∴a=

1

2

，b=2，
∴f（x）=

1

2

x²+2x+1．

由题意得，函数f（x）图象关于x=-2 对称，-

b

2a

=-2，c=1，∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2−4x1x2

=2

2

，解得 a、b的
值，即得函数f（x）的解析式．

本题考点：二次函数的性质．

考点点评：本题考查二次函数的图象和性质，用待定系数法求二次函数的解析式．