题目

已知函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=x²-x+a，若函数g（x）=f（x）-x的零点恰有两个，则实数a的取值范围是（　　）
A. a＜0
B. a≤0
C. a≤1
D. a≤0或a=1

提问时间：2020-09-28

答案

因为f（x）是奇函数，所以g（x）=f（x）-x也是奇函数，
所以要使函数g（x）=f（x）-x的零点恰有两个，
则只需要当x＞0时，函数g（x）=f（x）-x的零点恰有一个即可．
由g（x）=f（x）-x=0得，g（x）=x²-x+a-x=x²-2x+a=0，
若△=0，即4-4a=0，解得a=1．
若△＞0，要使当x＞0时，函数g（x）只有一个零点，则g（0）=a≤0，
所以此时

△＝4−4a＞0 a≤0

，解得a≤0．
综上a≤0或a=1．
故选D．

要使函数g（x）=f（x）-x的零点恰有两个，则根据函数是奇函数，则只需要当x＞0时，函数g（x）=f（x）-x的零点恰有一个即可．

本题考点：函数的零点．

考点点评：本题主要考查函数零点的应用，利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键．