题目

求下列函数的解析式 已知f(x+1)=x^2-3x+2,求f(x)
（1）f(x+1)=x^2-3x+2 ,求f(x)
(2)f(√x +1)=x+2√x,求f(x)
(3)已知二次函数f(x)满足f(0)=0,且对任意的x有f(x+1)=f(x)+x+1.求f(x)


我要详细的讲解步骤!比如第一题,答案给的过程是f(x+1)=x^2-3x+2=(x+1)^2-5x+1
为什么啊?求思路和逻辑!

提问时间：2020-09-27

答案

(1)
设x+1=y
则x=y-1
f(y)=f(x+1)=x^2-3x+2=(y-1)^2-3(y-1)+2=y^2-2y+1-3y+3+2
=y^2-5y+6
即f(x)=x^2-5x+6
(2)
设√x+1=y
则x=(y-1)^2
f(y)=f(√x +1)=x+2√x=(y-1)^2+2(y-1)=y^2-1
即f(x)=x^2-1
（3）设二次函数f(x)=ax^2+bx+c
已知f(0)=0
即a*0+b*0+c=0
所以c=0
则二次函数为f(x)=ax^2+bx
当x+1=0时,f(x+1)=0
而f(x+1)=f(x)+x+1
代入得
0=f(-1)+0
得f(-1)=0
因此二次函数图像与X轴的交点坐标为（-1,0）（0,0）
把x=-1,f(x)=0代入f(x)=ax^2+bx
a-b=0得a=b
因此二次函数为f(x)=ax^2+ax
当x=-1/2时
f(x)=ax^2+ax=1/4*a-1/2*a
f(x+1)=a(x+1)^2+a(x+1)=1/4*a+1/2*a
已知f(x+1)=f(x)+x+1
代入得1/4*a+1/2*a=1/4*a-1/2*a+1/2
a=1/2
b=a=1/2
c=0
f(x)=ax^2+bx+c=1/2x^2+1/2x
在以上计算中,我选择的是把x=1/2代入各等式中求解
其实可以任选一个数代入等式中,其中x=1是最好的选择,等式比较整齐,容易算.