题目

已知函数f(x)＝

1

2

ax2+2x−lnx
（1）当a=0时，求f（x）的极值；
（2）若f（x）在区间[

1

3

，2]上是增函数，求实数a的取值范围．

提问时间：2020-09-26

答案

（1）函数的定义域为（0，+∞）∵f(x)＝12ax2+2x−lnx当a=0时，f（x）=2x-lnx，则f′(x)＝2−1x∴x，f'（x），f（x）的变化情况如下表 x （0，12） 12 （12，+∞） f'（x） - 0 + f（x） 极小...

（1）因为当函数的导数为0时，函数有极值，所以当a=0时，必须先在定义域中求函数f（x）的导数，让导数等于0，求x的值，得到极值点，在列表判断极值点两侧导数的正负，根据所列表，判断何时有极值．
（2）因为当函数为增函数时，导数大于0，若f（x）在区间[

1

3

，2]上是增函数，则f（x）在区间[

1

3

，2]上恒大于0，所以只需用（1）中所求导数，令导数大于0，再判断所得不等式当a为何值时，在区间[

1

3

，2]上恒大于0即可．

本题考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本题考查了利用导数求函数极值以及函数单调性，属于常规题，必须掌握．