题目

设f(x)=lnx+√x-1,证明：1＜x＜3时f（x）＜9（x-1）/（x＋5）
这是辽宁文科2012的21题,不太明白为什么要那么放缩

提问时间：2020-09-25

答案

引入函数
g（x）
＝f（x）－9（x－1）/（x＋5）＝lnx＋√x－1－9（x－1）/（x＋5）
＝lnx＋√x－1－9［（x＋5）－6］/（x＋5）＝lnx＋√x－10＋54/（x＋5）.
∴g′（x）＝1/x＋1/（2√x）－54/（x＋5）^2＝（4＋2√x）/（4x）－54/（x＋5）^2.
∵x＞1,∴（1－√x）^2＝1－2√x＋x＞0,∴4＋2√x＜x＋5.
∴g′（x）＜（x＋5）/（4x）－54/（x＋5）^2＝［（x＋5）^3－216x］/［4x（2x＋5）^2］.
令h（x）＝（x＋5）^3－216x,则h′（x）＝3（x＋5）^2－216.
∴当1＜x＜3时,h′（x）＜3×（3＋5）^2－216＝3×64－3×72＜0.
∴h（x）在区间（1,3）上是减函数,又h（1）＝（1＋5）^3－216＜0,
∴在区间（1,3）上,h（x）＜0,∴在区间（1,3）上,g′（x）＜0.
∴在区间（1,3）上,g（x）是减函数,又g（1）＝ln1＋√1－1－9（1－1）/（1＋5）＝0,
∴在区间（1,3）上,g（x）＜0,
∴在区间（1,3）上,f（x）－9（x－1）/（x＋5）＜0,
∴在区间（1,3）上,f（x）＜9（x－1）/（x＋5）.