题目

在平面直角坐标系xoy中，直线l与抛物线y²=4x相交于不同的A、B两点．
（Ⅰ）如果直线l过抛物线的焦点，求

OA

•

OB

的值；
（Ⅱ）如果

OA

•

OB

=-4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．

提问时间：2020-09-25

答案

（Ⅰ）由题意：抛物线焦点为（1，0）
设l：x=ty+1代入抛物线y²=4x消去x得，
y²-4ty-4=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=（ty₁+1）（ty₂+1）+y₁y₂
=t²y₁y₂+t（y₁+y₂）+1+y₁y₂
=-4t²+4t²+1-4=-3．
（Ⅱ）设l：x=ty+b代入抛物线y²=4x，消去x得
y²-4ty-4b=0设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4b
∴

OA

•

OB

＝x1x2+y1y2=（ty₁+b）（ty₂+b）+y₁y₂
=t²y₁y₂+bt（y₁+y₂）+b²+y₁y₂
=-4bt²+4bt²+b²-4b=b²-4b
令b²-4b=-4，∴b²-4b+4=0∴b=2．
∴直线l过定点（2，0）．

（Ⅰ）根据抛物线的方程得到焦点的坐标，设出直线与抛物线的两个交点和直线方程，是直线的方程与抛物线方程联立，得到关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系，表达出两个向量的数量积．
（Ⅱ）设出直线的方程，同抛物线方程联立，得到关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系表示出数量积，根据数量积等于-4，做出数量积表示式中的b的值，即得到定点的坐标．

本题考点：平面向量数量积的运算；恒过定点的直线；抛物线的应用．

考点点评：从最近几年命题来看，向量为每年必考考点，都是以选择题呈现，从2006到现在几乎各省都对向量的运算进行了考查，主要考查向量的数量积的运算，结合最近几年的高考题，向量同解析几何，三角函数，立体几何结合起来考的比较多．