题目

映射的分类：单射、满射、双射分别是什么意思?请规范解释,谢谢!

提问时间：2020-09-20

答案

设f是由集合A到集合B的映射,如果x,y∈A,且x≠y时有f(x)≠f(y),则称f为由A到B的单射.　　在数学里,单射函数为一函数,其将不同的引数连接至不同的值上.更精确地说,函数f被称为是单射的,当对每一值域内的y,存在至多一个定义域内的x使得f(x) = y.　　另一种说法为,f为单射,当若f(a) = f(b),则a = b(或若a≠b,则f(a)≠f(b)),其中a、b属于定义域.
1个函数称为满射:如果每个可能的像至少有一个变量映射其上(即像集合B中的每个元素在A中都有一个或一个以上的原像),或者说值域任何元素都有至少有一个变量与之对应.
形式化的定义如下：
　　函数为满射,当且仅当对任意b,存在a满足f(a) = b.
　　将一个满射的陪域中每个元素的原像集看作一个等价类,我们可以得到以该等价类组成的集合（原定义域的商集）为定义域的一个双射.
既是单射又是满射的映射称为双射,亦称“一一映射” 　　设f是从集合A到集合B的映射,若R(f)=B,即B中任一元素b都是A中某元素的像,则称f为A到B上的满射；若对A中任意两个不同元素a(1)不等于a(2),他们的像f不等于f,则称f为A到B的单射；若映射f既是单射,又是满射,则称映射f为A到B的“双射”(或“一一映射”).函数为双射当且仅当每个可能的像有且仅有一个变量与之对应.　　函数f:A → B为双射当且仅当对任意b∈B存在唯一a∈A满足f(a) = b.　　函数f :A → B为双射当且仅当其可逆,即,存在函数g:B → A满足g o f = A上的恒等函数,且f o g为B上的恒等函数.　　两个双射的复合也是双射.如g o f为双射,则仅能得出f为单射且g为满射.　　同一集合上的双射构成一个对称群.　　如果X,Y皆为实数集R,则双射函数f:R→R可以被视觉化为两根任意的水平直线只相交正好一次.（这是水平线测试的一个特例.） 映射函数