题目

函数f(x)的反函数为f^-1(x),且y=f(x/2)的图像与y=e^x-1的图像关于y=x-1对称,则f^-1（1）=?

提问时间：2020-09-18

答案

设f（x/2）的图像上的点为（x,y）；而其在y=e^x-1上关于y=x-1对称的对应点为（m,n）
则有（y-n）/(x-m) 乘以1=-1,即y-n=m-x 即m+n=x+y
又有点(（x+m）/2,(y+n)/2)在y=x-1上,即y+n=x+m-2 即m-n=y-x+2
联立这两个式子解得2m=2y+2 即m=y+1
2n=2x-2 即n=x-1
因为（m,n）满足y=e^x-1,所以n=e^m-1 即x-1=e^(y+1)-1 即x=e^(y+1)
即y=lnx -1
这里就得到了y=f（x/2）=lnx-1,于是可知f（x）=ln2x -1
所以f（x）的反函数则f^-1（x）=1/2 e^(x+1)
所以则f^-1（1）=e²/2
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