题目

用1、2、3、4、5、8、9组成不重复的七位数,其中有多少个能被11整除?

提问时间：2020-09-16

答案

首先你要知道一个数字被11整除的特性.
一个数字的奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差如果能被11整除,这个数就能被11整除.
现在看看你的7个数字,分成3个和4个的两组:差最大的自然是:
1,2,3 | 4,5,8,9
这个差是26-6 = 20
因为这两组数字的数目不能变了(他们的数目只差只能小于等于1,因为是奇偶数位),所以我们考虑在他们之间移动一些项.使得差是11的倍数.
小于20的11的倍数只有11和0
然而,由于移动任何一个数字n,都会使得这两组数字的差变化2n,2n是个偶数,无论如何无法满足变化(20-11=9,也就是把差变成11需要的变化)这个奇数.所以只能把差变成0,两组数字一样.
简单试试就可以找到几个替换,得出3组可能的组合:
2,5,9 | 1,3,4,8
3,5,8 | 1,2,4,9
3,4,9 | 1,2,5,8
这样我们就可以开始组合数字了:
一组数字来说,他的奇数位和偶数位上的数字各不相干,所以是自由组合.可能数为:
A(3,3)*A(4,4) = 3!*4! = 144
一共有三组,所以总的可能数有:
144*3 = 432
即,一共有432个能被11整除.
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