题目

高二数学推理与证明习题!
1.已知：a＞0,b＞0,求证2ab/a+b≤√ab≤a+b/2≤√[(a^2+b^2)/2]
2.设a,b,c∈R,求证√(a^2+b^2)+√(b^2+c^2)+√(c^2+a^2)≥√2（a+b+c）
3.证明：f（x）=2^（x²-4x+3）在（2,+∞）上是增加的.
PS.一定要完整过程 先谢谢啦!

提问时间：2020-09-15

答案

分析,(1)和（2）,都用到,
∵ (a-b)²≥0；
∴a²+b²-2ab≥0
(1)证明：∵a＞0,b＞0；
∴ (a-b)²≥0；
∴a²+b²-2ab≥0；
第一个不等号：
 a²+b²+(2ab -2ab)-2ab≥0；
 (a+b)² -2ab-2ab≥0；
 (a+b)² ≥4ab；
 4ab×（ab）≤ (a+b)² ×（ab）；
4a²b²≤(a+b)² ab
4a²b²/(a+b)²≤ab
√[4a²b²/(a+b)²]≤√[ab]
2ab/(a+b)≤√(ab)
第二个不等号：
 a²+b²+(2ab -2ab)-2ab≥0；
 (a+b)² -2ab-2ab≥0；
 4ab≤ (a+b)²；
√4ab≤√(a+b)²
√ab≤(a+b）/2;
第三个不等号：
 a²+b²-2ab≥0；
 a²+b²+（a²+b²）-（a²+b²）-2ab≥0；
 2（a²+b²）-（a²+b²+2ab）≥0；
 2（a²+b²）-（a+b）²≥0；
 2（a²+b²）≥（a+b）²
 2（a²+b²）/4≥（a+b）²/4
（a²+b²）/2≥（a+b）²/4
√[（a²+b²）/2]≥√[（a+b）²/4]
√[（a²+b²）/2]≥（a+b）/2;
（a+b）/2≤ √[（a²+b²）/2];
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(2) 证明：∵a、b、c∈R；
∴ (a-b)²≥0；
由于（1）的第三个不等式的证明有：
（a+b）/2≤ √[（a²+b²）/2];
 √（a²+b²）≥（a+b）/√2；-------(11)
同理有：√（b²+c²）≥（b+c）/√2；------(22)
√（c²+a²）≥（c+a）/√2；------(33)
(11)、（22）和（33） 三式相加得：
√（a²+b²）+ √（b²+c²）+ √（c²+a²）≥[（a+b）+（b+c）+（c+a）] /√2；
√（a²+b²）+ √（b²+c²）+ √（c²+a²）≥2（a+b+c）/√2=√2 (a+b+c)；
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∵指数函数a^x(a>0且≠1),
当a＞1时,指数函数是递增的函数；
又∵f（x）=2^（x²-4x+3）
=2^[(x-2)²-1 ]
当∈（2,+∞）时,(x-2)²-1是递增函数；
∴底数为2^X 指数函数
f（x）=2^（x²-4x+3）=2^[(x-2)²-1 ],在（2,+∞）时是递增的函数；
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