题目

梯形ABCD中,AB‖CD,AD＝DC＝CB＝4,AB＝8．请把过程详细的写下来 急!
梯形ABCD中,AB‖CD,AD＝DC＝CB＝4,AB＝8．
（1）求梯形ABCD的面积；
（2）点P沿点A向点B运动,速度为每秒2个单位,点Q沿B→C→D→A的路线运动,速度为每秒3个单位．两点同时运动,设运动时间为t（0＜t＜4）,连结PQ,直线PQ将梯形分成两部分,其中含点B的部分的面积为S．回答下列问题：
① 当t为何值时,直线PQ与梯形的腰垂直（直接写出t值）；
② 试写出S与t之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；
③ 是否存在直线PQ将梯形ABCD的面积分成1∶2两部分,若存在,求t的值．若不存在,请说明理由．

提问时间：2020-09-12

答案

(1)过D做DH⊥AB于H,过C做CE⊥AB于E
HE=CD=4
易证AH=2
∵AD=4
∴∠A=60°DH=2√3
∴S梯ABCD=1/2(CD+AB)·DH=12√3
(2) ①
Ι)PQ⊥BC
∵梯ABCD AC=BD
∴∠B=∠A=60°
∴BP=BQ/cosB=6t
∵BP=AB-AP=8-2t
∴8-2t=6t
t=1
ΙΙ)PQ⊥AD
∵∠A=60°
∴AP=AQ/cosA=24-6t
又AP=2t
∴2t=24-6t
t=3
∴t=3或t=1是PQ与腰垂直
②过Q做QR⊥AB于R
Ι）Q在BC上
QR=BQ·sinB=3√3t/2
∴S=1/2·BP·QR=(12√3t - 3√3t²)/2 (0＜t≤4/3)
ΙΙ)Q在DC上
CQ=3t-4
S=1/2(QC+BP)·CE
=√3t + 4√3 (4/3＜t≤8/3)
ΙΙΙ)Q在AD上
QR=AQ·sinA=6√3 - 3√3t/2
∴S=1/2·AP·QR=6√3t - 3√3t²/2 (8/3＜t＜4)
③∵直线PQ将梯形ABCD的面积分成1∶2两部分
Ι)S:S梯ABCD=1:3
∴S=4√3
S=4√3分别代入②中关系式
t1=(6+2√3)/3 t2=(6-2√3)/2 t3=0(舍)
ΙΙ）S:S梯ABCD=2:3
∴S=8√3
S=8√3分别代入②中关系式
t无解 或 t=4(舍)
∴t1=(6+2√3)/3 t2=(6-2√3)/2