题目

已知a、b、c∈R,且ab+bc+ac=1,求证：根号a/bc+根号b/ac+根号c/ab≥根号3（根号a+根号b+根号c）

提问时间：2020-09-06

答案

a b c∈R+ ab+bc+ac=1
由柯西不等式（柯西不等式可用一元二次多项式恒非负时△=0恒成立,由△=(根号a+根号b+根号c)^2
因为
由均值不等式之 平方平均>=算术平均>=倒数平均(由展开和柯西不等式可证得两个不等号),对于正实数x y z ((x^2+y^2+z^2)/3)^(1/2)>=3/(1/x+1/y+1/z)
即,1/x+1/y+1/z>=3/((x^2+y^2+z^2)/3)^(1/2)>=3根号3/根号(x^2+y^2+z^2)
(根号a+根号b+根号c)/根号abc=1/根号bc+1/根号ac+1/根号ab>=3根号3/根号(ab+bc+ca)=3根号3
所以
根号a/bc+根号b/ac+根号c/ab>=(根号a+根号b+根号c)^2/(根号abc+根号abc+根号abc)
>=(根号a+根号b+根号c)*3根号3/3
=根号3(根号a+根号b+根号c)
所以原不等式成立