题目

高一数学题、二次函数f(x)、高手进.
已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x且f(0)=1 （1）求f(x)的解析式 （2）当x∈[-1,1]时,不等式：f(x)＞2x+m恒成立,求实数m的范围 （3）设g(t)=f(2t+a),t∈[-1,1],求g(t)的最大值 请写下具体的解题过程.

提问时间：2020-09-05

答案

（1）设f(x)=ax^2+bx+c 所以f(x+1)=a(x+1)^2+b(x+1)+c=ax^2+(b+2)x+c 展开,系数相等 又因为f(0)=c=1 所以解得：a=1 b=-1 c=1 所以f(x)=x^2-x+1 （2）f(x)>2x+m x^2-x+1>2x+m x^2-3x+1-m>0 令g(x)=x^2-3x+1-m 可以得出当x0 m< - 3 (3)g(t)=f(2t+a)=4*t^2+(4a-2)*t+a^2-a+1 g(t)=(2t+a-1/2)^2+3/4 则g(t)的最大值只可能在g（-1）和g(1)中取 g(-1)=a^2-5a+7 g(1)=a^2+3a+3 当a>=1/2时 g(1)>=g(-1) 最大值为g(1)=a^2+3a+3 当a