题目

在平面直角坐标系xOy中,点A（0,3）,直线l：y=2x-4．设圆C的半径为1,圆心在l上．
（1）若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程；
（2）若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围．

提问时间：2020-09-05

答案

1、
圆心在y=2x-4上,也在y=x-1上
所以,2x-4=x-1
所以,x=3,y=2
即,圆心(3,2),半径为1
设切线的斜率为k,则切线方程为：y-3=kx,即kx-y+3=0
圆心到切线的距离等于圆的半径,即d=|3k-2+3|/√(k^2+1)=1
===> |3k+1|=√(k^2+1)
===> 9k^2+6k+1=k^2+1
===> 8k^2+6k=0
===> k=0,或者k=-3/4
所以,切线方程为：y=3；或者3x+4y-12=0
2、
已知圆心在y=2x-4上,设横坐标为x=a,则纵坐标为y=2a-4
即,圆心(a,2a-4)
那么圆方程为(x-a)^2+[y-(2a-4)]^2=1
令M(a+cosθ,(2a-4)+sinθ)
已知A(0,3)；O(0,0),且MA=2MO
所以,MA^2=(a+cosθ)^2+[(2a-7)+sinθ]^2
=a^2+2acosθ+cos^2 θ+(4a^2-28a+49)+2(2a-7)sinθ+sin^2 θ
=5a^2-28a+50+2acosθ+2(2a-7)sinθ
MO^2=(a+cosθ)^2+[(2a-4)+sinθ]^2
=a^2+2acosθ+cos^2 θ+(4a^2-16a+16)+2(2a-4)sinθ+sin^2 θ
=5a^2-16a+17+2acosθ+2(2a-4)sinθ
所以：
5a^2-28a+50+2acosθ+2(2a-7)sinθ=20a^2-64a+68+8acosθ+8(2a-4)sinθ
===> 15a^2-36a+18+6acosθ+(12a-18)sinθ=0
===> 5a^2-12a+6+2acosθ+(4a-6)sinθ=0
===> 5a^2-(12-2cosθ-4sinθ)a+6-6sinθ=0