题目

已知a∈R，函数f(x)＝

a

x

+lnx−1，g（x）=（lnx-1）e^x+x（其中e为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值；
（2）是否存在实数x₀∈（0，e]，使曲线y=g（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直？若存在，求出x₀的值；若不存在，请说明理由．

提问时间：2020-09-04

答案

（1）∵f(x)＝

a

x

+lnx−1，
∴f′(x)＝−

a

x2

+

1

x

＝

x−a

x2

令f'（x）=0，得x=a．
①若a≤0，则f'（x）＞0，f（x）在区间（0，e]上单调递增，此时函数f（x）无最小值．
②若0＜a＜e，当x∈（0，a）时，f'（x）＜0，函数f（x）在区间（0，a）上单调递减，
当x∈（a，e]时，f'（x）＞0，函数f（x）在区间（a，e]上单调递增，
所以当x=a时，函数f（x）取得最小值lna
③若a≥e，则f'（x）≤0，函数f（x）在区间（0，e]上单调递减，
所以当x=e时，函数f（x）取得最小值

a

e

．
．综上可知，当a≤0时，函数f（x）在区间（0，e]上无最小值；
当0＜a＜e时，函数f（x）在区间（0，e]上的最小值为lna；
当a≥e时，函数f（x）在区间（0，e]上的最小值为

a

e

．
（2）∵g（x）=（lnx-1）e^x+x，x∈（0，e]，
∴g'（x）=（lnx-1）′e^x+（lnx-1）（e^x）′+1=

ex

x

+(lnx−1)ex+1＝(

1

x

+lnx−1)ex+1．
由（1）可知，当a=1时，f(x)＝

1

x

+lnx−1．
此时f（x）在区间（0，e]上的最小值为ln1=0，即

1

x

+lnx−1≥0．（10分）
当x₀∈（0，e]，ex0＞0，

1

x0

+lnx0−1≥0，
∴g′(x0)＝(

1

x0

+lnx0−1)ex0+1≥1＞0．
曲线y=g（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直等价于方程g'（x₀）=0有实数解．（13分）
而g'（x₀）＞0，即方程g'（x₀）=0无实数解．、故不存在x₀∈（0，e]，使曲线y=g（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直．

（1）讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最小的一个就是最小值；
（2）将曲线y=g（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直转化成方程g'（x₀）=0有实数解，只需研究导函数的最小值即可．

本题考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评：本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值，以及利用导数研究曲线上某点切线方程，属于中档题．