题目

设二次函数f(x)=ax^2+bx+c（a,b,c∈R）满足f（-1）=0,且对任意实数x,均有x-1≤f(x)≤x^2-3x+3恒成立
求：（1）f(x)的表达式
(2)若关于x的不等式f(x)≤kx-1的解集非空,求实数k的取值集合A

提问时间：2020-09-04

答案

直线y=x-1与二次函数y=x^2-3x+3 只有一个交点（2,1）,即是切点,所以要满足题中不等关系,f(x)也必须经过（2,1）点,且与直线y=x-1相切,所以有
f(2)=4a+2b+c=1
2a*2+b=1
f(-1)=a-b+c=0
解得a=2/9 b=1/9 c=-1/9
f(x)=2/9x^2+x/9-1/9
(2)2/9x^2+x/9-1/9≤kx-1 (题意要求y=2/9x^2+x/9-1/9与y=kx-1 必须有交点）
2x^2+(1-9k)x+8≤0
△=(1-9k)^2-64≥0
k≥1或k≤-7/9