题目

证明 ：主对角元全为1的上三角矩阵的逆矩阵也是主对角元全为1的上三角矩阵

提问时间：2020-09-04

答案

既然存在对角元素,那这个矩阵应该是n阶方阵,先将矩阵分块成
A B
C D（1）四块,不管n是不是2的倍数,当然不是更好,因为不是的话,我们就先可以将D分为1,也就是最右下角的元素.这里C显然为0矩阵,因为上三角.分块后的矩阵的逆矩阵为
A逆 -A逆BD逆
0 D逆 （2） 这里面D逆为1右上角可以先不管,因为跟我们所求无关,
然后再同样的方法将A分块,同样得到了一个（2）类似的矩阵,就这样不停分割,直到分到左上角为1 a
0 1（3）这样的矩阵,（3）的逆矩阵为1 -a
0 1（4）,
而分出的所有坐下角的矩阵均为0,所有右下角的矩阵均为1,右上角均为无关,所以整合之后.
得到一个对角元素均为1,的上三角矩阵.