题目

F1F2分别是椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a﹥b﹥0)的左,右焦点
,A是椭圆C的顶点,B是直线AF2与圆C的另一个交点,角F1AF2=60度(1)求椭圆的离心率（2）已知△AF1B1的面积为 40根号3 求 a ,b的值

提问时间：2020-09-04

答案

(1)不妨设A是椭圆C的上顶点(0,b),角F1AF2=60度,
∴a=2c,
∴椭圆的离心率c/a=1/2.
(2)b=√3c,A(0,√3c),F2(c,0),AF2:y=-√3x+√3c,
代入x^2/(4c^2)+y^2/(3c^2)=1,得
x^2+4(x-c)^2=4c^2,
整理得5x^2-8cx=0,
解得xB=8c/5,yB=-3√3c/5,
|AB|=16c/5,
F1(-c,0)到AF2的距离h=√3c,
∴S△AF1B=(1/2)|AB|h=8√3c^2/5=40√3,
∴c^2=25,c=5,
∴a=10,b=5√3.