题目

某人买13个鸡蛋、5个鸭蛋、9个鹌鹑蛋，共用去9.25元；如果买2个鸡蛋，4个鸭蛋，3个鹌鹑蛋，则共用去3.20元，试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需多少钱？请至少用三种以上的方法解答．

提问时间：2020-09-03

答案

设鸡、鸭、鹌鹑三种蛋的单价分别为x、y、z元，则根据题意，得

13x+5y+9z＝9.25① 2x+4y+3z＝3.20②

（1）凑整法
解1：

①+②

3

，得5x+3y+4z＝4.15③
∴②+③，得7（x+y+z）=7.35，
∴x+y+z=1.05
答：只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需1.05元．（下面解法后的答均省略）
解2：原方程组可变形为

13(x+y+z)−4(2y+z)＝9.25 2(x+y+z)+(2y+z)＝3.20

解之得x+y+z=1.05
（2）主元法
解3：视x、y为主元，视z为常数，解①、②得x=0.5-0.5z，y=0.55-0.5z．
∴x+y+z=0.55+0.5-z+z=1.05．
解4：视y、z为主元，视x为常数，解①、②得y=0.05+x，z=1-2x．
∴x+y+z=1.05+x-2x+x=1.05．
解5：视z、x为主元，视y为常数，解①、②得x=y-0.05，z=1.1-2y
∴x+y+z=y-0.05+y+1.1-2y=1.05．
（3）参数法
解9：设x+y+z=k，则

13x+5y+9z＝9.25① 2x+4y+3z＝3.20② x+y+z＝k③

∴①-②×3，得x-y=-0.05④
③×3-②，得x-y=3k-3.2⑤
∴由④、⑤得3k-3.2=-0.05，
∴k=1.05．即x+y+z=1.05．

此方程组是三元一次方程组，由于只有两个三元一次方程，因而要分别求出x、y、z的值是不可能的，但注意到所求的是x+y+z的代数和，因此，我们可通过变形变换得到多种解法．

本题考点：三元一次不定方程．

考点点评：本题是三元不定方程组，解决这类问题，需要设待定系数，比较系数求解，本题有多种解法，值得借鉴．