题目

已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x²+2x．
（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）解不等式g（x）≥f（x）-|x-1|．

提问时间：2020-09-03

答案

（Ⅰ）设函数y=f（x）的图象上任意一点Q（x₀，y₀）关于原点的对称点为P（x，y），则P在g（x）的图象上，
 且

x0+x 2 =0 y0+y 2 =0

，即

x0=-x y0=-y.

∵点Q（x₀，y₀）在函数y=f（x）的图象上，
∴-y=x²-2x，即y=-x²+2x，故，g（x）=-x²+2x．
（Ⅱ）由g（x）≥f（x）-|x-1|，可得2x²-|x-1|≤0
当x≥1时，2x²-x+1≤0，此时不等式无解．
当x＜1时，2x²+x-1≤0，解得-1≤x≤

1

2

．因此，原不等式的解集为[-1，

1

2

]．

（Ⅰ）设函数y=f（x）的图象上任意一点Q（x₀，y₀）关于原点的对称点为P（x，y），则P在g（x）的图象上，由线段的中点公式解出 x₀和y₀ 的解析式，代入函数y=f（x）可得g（x）的解析式．
（Ⅱ）不等式可化为 2x²-|x-1|≤0，分类讨论，却掉绝对值，求出不等式的解集．

本题考点：绝对值不等式的解法；函数解析式的求解及常用方法．

考点点评：本题考查求函数的解析式的方法以及解绝对值不等式的方法，体现了分类讨论的数学思想．