题目

已知Rt△ABC周长为2+根号2,求其面积的最值,及此时的各边长

提问时间：2020-09-03

答案

不妨设C为直角
周长L=a+b+c=c*sinA+c*cosA+c=c(sinA+cosA+1)
=c(2^(1/2)sin(A+(pi/4))+1)
c=L/(2^(1/2)sin(A+(pi/4))+1)
而：c^2=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab
2ab=(a+b)^2-c^2=(a+b+c)(a+b-c)=(a+b+c)((a+b+c)-2c)
=(a+b+c)^2-2(a+b+c)c
=L^2-2Lc
=L^2-2L^2/(2^(1/2)sin(A+(pi/4))+1)
面积=(1/2)ab=(1/4)L^2-(1/2)L^2/(2^(1/2)sin(A+(pi/4))+1)
当sin(A+(pi/4)）=1,即A=pi/4,△ABC为等腰直角三角形时,面积为最大
最大面积=(1/4)L^2-(1/2)L^2/(2^(1/2)+1)=1/2
这时:(1/2)ab=1/2
ab=1
a=b=1