题目

在△ABC中，若角A，B，C成公差大于零的等差数列，则cos²A+cos²C的最大值为（　　）
A.

1

2

B.

3

2

C. 2
D. 不存在

提问时间：2020-09-03

答案

在△ABC中，若角A，B，C成公差大于零的等差数列，则B=

π

3

，A＜

π

3

＜C，且A+C=

2π

3

．
再由 cos²A+cos²C=

1+cos2A

2

+

1+cos2C

2

=1+

1

2

cos2A+

1

2

cos（

4π

3

-2A）
=1+

1

2

cos2A+

1

2

（cos

4π

3

cos2A+sin

4π

3

sin2A）
=1+

1

4

cos2A-

3

4

sin2A=1+

1

2

cos（2A+

π

3

）．
再由A＜

π

3

＜C，可得

π

3

＜2A+

π

3

＜π，由于函数y=1+

1

2

cos（2A+

π

3

）在（

π

3

，π）上是减函数，
故 1+

1

2

cos（2A+

π

6

） 无最大值，
故选D．

由题意可得，B=

π

3

，A＜

π

3

＜C，且A+C=

2π

3

．再利用三角恒等变换化简 cos²A+cos²C 为1+

1

2

cos（2A+

π

3

）．再由

π

3

＜2A+

π

3

＜π，函数y=1+

1

2

cos（2A+

π

6

）在（

π

3

，π）上是减函数，可得 1+

1

2

cos（2A+

π

6

） 无最大值．

本题考点：两角和与差的余弦函数；等差数列的通项公式；余弦函数的定义域和值域．

考点点评：本题主要考查三角函数的恒等变换、余弦函数的单调性、定义域和值域，属于中档题．