题目

在棱锥P-ABC中，侧棱PA、PB、PC两两垂直，Q为底面△ABC内一点，若点Q到三个侧面的距离分别为3、4、5，则以线段PQ为直径的球的表面积为（　　）
A. 100π
B. 50π
C. 25π
D. 5

2

π

提问时间：2020-08-29

答案

根据题意：点Q到三个侧面的垂线与侧棱PA、PB、PC围成一个棱长为3、4、5的长方体，
则其外接球的直径即为PQ且为长方体的体对角线．
∴2r=

32+42+52

＝5

2

∴r＝

5 2

2

由球的表面积公式得：S=4πr²=50π
故选B．

根据题意，点Q到三个侧面的垂线与侧棱PA、PB、PC围成一个棱长为3、4、5的长方体，分析可知以PQ为直径的球是它的外接球，再由长方体和其外接球的关系求解．

本题考点：球的体积和表面积；棱柱的结构特征．

考点点评：本题主要考查空间几何体的构造和组合体的基本关系．