题目

求函数f（x）=-x²+2ax-1，x∈[-2，2]的最大值g（a），并求g（a）的最小值．

提问时间：2020-08-28

答案

由f（x）=-x²+2ax-1=-（x-a）²+a²-1，-2≤x≤2，
∴当-2≤a≤2时，g（a）=f（a）=a²-1；
当a＜-2时，g（a）=f（-2）=-4a-5；
当a＞2时，g（a）=f（2）=4a-5；
∴g（a）=

−4a−5 (a＜−2) a2−1 (−2≤a≤2) 4a−5 (a＞2)

，
∴当-2≤a≤2时，g（a）=a²-1，∴-1≤g（a）＜3；
当a＞2时，g（a）=4a-5，∴g（a）＞3；
当a＜-2时，g（a）=-4a-5，∴g（a）＞3；
综上所得：g（a）≥-1，
故g（a）的最小值为-1，此时a=0．

把二次函数的解析式f（x）化为顶点形式，找出抛物线的对称轴，然后根据对称轴在区间的左边，中间及右边分三种情况，根据二次函数的图象与性质分别求出最大值g（a）并求出此时a的范围，得到g（a）与a为分段函数，然后分别在三段函数上分别利用二次函数和一次函数的性质求出各自g（a）的范围，即可得到g（a）的最小值．

本题考点：二次函数在闭区间上的最值．

考点点评：此题考查学生掌握二次函数及一次函数的图象与性质，考查了分类讨论的数学思想，是一道综合题．