题目

已知函数f（x）=e^x-x（e是自然数对数的底数）
（1）求f（x）的最小值；
（2）不等式f（x）＞ax的解集为P，若M＝{x|

1

2

≤x≤2}，且M∩P＝ϕ，求实数a的取值范围．

提问时间：2020-08-28

答案

（1）f'（x）=e^x-1由f'（x）=0得x=0
当x＞0时，f'（x）＞0，当x＜0时，f'（x）＜0，
故f（x）在（-∞，+∞）连续，
故f_min（x）=f（0）=1．
（2）∵M∩P≠φ，
即不等式f（x）＞ax在区间[

1

2

，2]有解f（x）＞ax可化为（a+1）x＜e^x∴g(x)＝

ex

x

−1，x∈[

1

2

，2]，a＜

ex

x

−1在区间[

1

2

，2]a＜gmax(x)∵g′(x)＝

(x−1)ex

x2

故g(x)在区间[

1

2

，1]递减，
在区间[1，2]递增，g(

1

2

)＝2

e

−1
又g(2)＝

1

2

e2−1，且g(2)＞g(

1

2

)∴gmax(x)＝g(2)＝

1

2

e2−1
所以，实数a的取值范围为(−∞，

1

2

e2−1)．

（1）求出函数的导数，利用导数为0，求出极值点，通过单调性说明极值点时是函数的取得最小值，即可．
（2）求出不等式的解集P，通过M∩P≠φ，说明x∈[

1

2

，2]时，a小于g（x）的最大值，利用函数的导数求出g（x） 的最大值即可．

本题考点：利用导数求闭区间上函数的最值；空集的定义、性质及运算；交集及其运算．

考点点评：本题是中档题，考查函数的导数的应用，转化思想的应用，考查计算能力．