题目

已知方程6x²+2（m-13）x+12-m=0恰有一个正整数解，则整数m的值为 ___ ．

提问时间：2020-08-27

答案

由题意知：△=[2（m-13）]²-4×6×（12-m）=4×[（m-13）²-6•（12-m）]应该是一个完全平方式，
所以（m-13）²-6•（12-m）是一个完全平方式，
令（m-13）²-6•（12-m）=y²（y是正整数），则
m²-20m-y²+97=0，即（m-10）²-y²=3，
∴（m-10+y）（m-10-y）=3×1=（-3）×（-1），
∴

m-10+y=3 m-10-y=1

或

m-10+y=1 m-10-y=3

或

m-10+y=-3 m-10-y=-1

或

m-10+y=-1 m-10-y=-3

，
解得m=12或8，
当m=12时，原方程即6x²-2x=0，
解得x=0或

1

3

，不符合题意，
当m=8时符合题意，整数m的值为8，
故答案为8．

根据方程6x²+2（m-13）x+12-m=0恰有一个正整数解可知：△=[2（m-13）]²-4×6×（12-m）=4×[（m-13）²-6•（12-m）]应该是一个完全平方式，令令（m-13）²-6•（12-m）=y²，把该式转化成m²-20m-y²+97=0，即（m-10）²-y²=3，于是列出m和y的二元一次方程组，求出m的值，最后验证m是否符合题意．

本题考点：一元二次方程的整数根与有理根．

考点点评：本题主要考查一元二次方程的整数跟和有理根的知识点，解答本题的关键是熟练掌握跟的判别式和完全平方式的知识，此题难度不大．