题目

若不等式

x2−8x+20

mx2−mx−1

＜0对∀x恒成立，求实数m的取值范围．

提问时间：2020-08-27

答案

∵x²-8x+20=（x-4）²+4＞0，
∴不等式

x2−8x+20

mx2−mx−1

＜0对∀x∈R恒成立可化为：mx²-mx-1＜0对∀x∈R恒成立，
当m=0时，mx²-mx-1=-1＜0对∀x∈R恒成立；
当m≠0时，要使mx²-mx-1＜0对∀x∈R恒成立，
则

m＜0 (−m)2+4m＜0

，解得-4＜m＜0．
综上，使不等式

x2−8x+20

mx2−mx−1

＜0对∀x∈R恒成立的实数m的取值范围是（-4，0]．

给出的分式不等式的分子恒大于0，因此不等式恒成立转化为二次不等式恒成立问题，然后分m=0和m≠0讨论，当m≠0时只需二次项系数小于0，且判别式小于0联立不等式组求解．

本题考点：函数恒成立问题．

考点点评：本题考查恒成立问题，考查数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，训练了利用“三个二次”结合求解含参数的最值问题，是中档题．