题目

an,bn为正项等比数列,An,Bn为（lgan）,（lgbn）的前n项和,且An/Bn=n/2n+1,则logb10(a10)=

提问时间：2020-08-26

答案

设数列{ a(n) }的首项是a(1),a(1)>0,公比是q,q>0,
那么：
a(n)=a(1)·q^(n-1)
lg[a(n)] = lg[a(1)·q^(n-1)] = lg[a(1)]+(n-1)·lg(q)
lg[a(1)] = lg[a(1)]
lg[a(2)] = lg[a(1)]+1·lg(q)
lg[a(3)] = lg[a(1)]+2·lg(q)
……
lg[a(10)] = lg[a(1)]+9·lg(q)
……
A(n) = n·lg[a(1)] + [1+2+……+(n-1)]·lg(q)
= n·lg[a(1)] + [n·(n-1)/2]·lg(q)
= n·{lg[a(1)] + [(n-1)/2]·lg(q)}
于是有：A(19) = 19·{lg[a(1)] + [(19-1)/2]·lg(q)} = 19·lg[a(10)]
同理：B(19) = 19·lg[b(10)]
又：A(19)/B(19) = 19/(2·19+1) = 19/39
即：lg[a(10)]/lg[b(10)] = 19/39
即a(10)的以b(10)为底的对数 Log[a(10),b(10)] = lg[a(10)]/lg[b(10)] = 19/39
备注：由于这里不方便写标准的数学形式的对数表达式,所以用标准的计算机对数函数表达式Log(number,base)来表示,其中前一个参数number表示想要计算其对数的正实数,后一个参数base表示对数的底数.