题目

已知倾斜角为π/4的直线l被双曲线x2-4y2=60截得的弦长AB=8根号2,求直线的方程

提问时间：2020-08-26

答案

因为直线斜率为π/4,所以可设直线方程为y=x+b.设交点A(x1,x2)B(x2,y2)
x²-4y²=60
y=x+b
解得3x²+8bx+4b²+60=0
由韦达定理得：x1+x2=-8b/3,x1*x2=(4b²+60)/3
由题意得(x1-x2)²+(y1-y2)²=(8√2)²
其中y1=x1+b,y2=x2+b,代入得
(x1-x2)²+(x1+b-x2-b)²=(8√2)²
即(x1-x2)²=64
(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2=64b²/9-(16b²+240)/3=64
解得b=±9
所以直线方程为y=x+9或y=x-9