题目

如图,已知,抛物线y=ax^2+bx+c经过原点O(0,0)和A（1,3）、B（-1,5）两点.1、求抛物线解析式,
2设该抛物线与X轴的另一个交点为C,以OC为直径做圆M,如果过抛物线线上一点P做圆的切线PD,切点为D,且与y轴的交点为E,连接MD,已知点E的坐标为（.0,m）,求四边形EOMD的面积.
3延长DM交圆M于点N,连接ON、OD,当点P在2的条件下运动到什么位置时,能使得S四边形EOMD=S△DON,求出此时点P的坐标.

提问时间：2020-08-21

答案

（1）∵抛物线过O（0,0）,A（1,-3）,B（-1,5）三点,
解得 a= 1
b=-4
c=0 ；
∴抛物线的解析式为y=x2-4x；
（2）抛物线y=x2-4x与x轴的另一个交点坐标为C（4,0）,连接EM；
∴⊙M的半径为2,即OM=DM=2；
∵ED、EO都是⊙M的切线,
∴EO=ED,△EOM≌△EDM；
∴S四边形EOMD=2S△OME=2× OM•OE=2m；设点D的坐标为（x0,y0）,
∵S△DON=2S△DOM=2× OM×y0=2y0,
当S四边形EOMD=S△DON时,即2m=2y0,m=y0；
∵m=y0,ED‖x轴,
又∵ED为切线,
∴D点的坐标为（2,2）；
∵P在直线ED上,故设P点的坐标为（x,2）,
∵P在抛物线上,
∴2=x2-4x,
解得x=2±根号6 ；
∴P（2+ 根号6,2）或P（2-根号6 ,2）为所求．