题目

对于实数a（a≠0）,设圆系C：x²+y²-2ax+2（a-2）y+2=0,求与所有圆C相切的切线方程

提问时间：2020-08-20

答案

圆系C：x²+y²-2ax+2（a-2）y+2=0,
即(x-a)^2+(y+a-2)^2=2a^2-4a+2=2(a-1)^2.
a=1时它变为点A（1,1）,所求切线过点A,
∴设它的方程为y-1=k(x-1),即
kx-y-k+1=0,
圆心(a,2-a)到切线的距离
|ka-(2-a)-k+1|/√(k^2+1)=|a-1|√2（半径）,
∴|k（a-1)+a-1|=|a-1|√[2(k^2+1)],
两边约去|a-1|,再平方得
k^2+2k+1=2k^2+2,
k^2-2k+1=0,k=1.
∴所求切线方程是x-y=0.