题目

对k∈Z,设sin（2kπ+α）与cos（2kπ+α）是方程2x²+（根号2+1）x+5m=0的两根
求m与sin/(1-/tanα）+cosα/（1-tanα）的值

提问时间：2020-08-19

答案

sin(2kπ+α)=sinα cos(2kπ+α)=cosα
由韦达定理得
sinα+cosα=-(√2+1)/2
sinαcosα=5m/2
(sinα+cosα)²=[-(√2+1)/2]²
sin²α+cos²α+2sinαcosα=(3+2√2)/4
5m+1=(3+2√2)/4
m=(2√2-1)/20
sinα/(1- 1/tanα) +cosα/(1-tanα)
=sinα/(1- cosα/sinα) +cosα/(1- sinα/cosα)
=sin²α/(sinα-cosα)+cos²α/(cosα-sinα)
=sin²α/(sinα-cosα)-cos²α/(sinα-cosα)
=(sin²α-cos²α)/(sinα-cosα)
=(sinα+cosα)(sinα-cosα)/(sinα-cosα)
=sinα+cosα
=-(1+√2)/2