题目

什么是欧几里德第五公理?能不能证明?

提问时间：2020-08-16

答案

欧几里德的世界
据说除了圣经之外,印得最多,流传最广的要算古希腊数学家欧几里德写的《几何原本》了.
欧几里德在《几何原本》中选择了一些不加证明而承认下来的命题作为基本命题,及公理或公设.
1.从一点到另一点可作一条直线；
2.直线可以无限延长；
3.已知一点和一距离,可以该点为中心,以该距离为半径作一圆；
4.所有的直角彼此相等；
5.若一直线与其他两直线相交,以致该直线一侧的两内角和小于两直角,则那两直线延伸足够长后必相交与该测.(不能证明)
他的五条公设一直被认为就是真理,从这五条公设出发,推导出了整个欧氏几何的体系.欧氏几何也被奉为经典流传了两千多年.
但是,在他极为细致深入的推理过程中,得出了一个又一个在直觉上匪夷所思,但在逻辑上毫无矛盾的命题.最后,罗巴切夫斯基得出两个重要的结论：
第一：第五公设不能被证明.
第二：在新的公理体系中展开的一连串推理,得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理,并形成了新的理论.这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学.
这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何,简称罗氏几何.这是第一个被提出的非欧几何学.
从罗巴切夫斯基创立的非欧几何学中,可以得出一个极为重要的、具有普遍意义的结论：逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学.