当前位置: > 已知函数f(x)=23sinx•cosx+cos2x-sin2x-1(x∈R) (Ⅰ)求函数y=f(x)的周期和递增区间; (Ⅱ)若x∈[-5π12,π3],求f(x)的取值范围....
题目
已知函数f(x)=2
3
sinx•cosx+cos2x-sin2x-1(x∈R)
(Ⅰ)求函数y=f(x)的周期和递增区间;
(Ⅱ)若x∈[-
12
π
3
],求f(x)的取值范围.

提问时间:2020-08-16

答案
(1)由题设f(x)=2
3
sinx•cosx+cos2x-sin2x-1
=
3
sin2x+cos2x-1
=2sin(2x+
π
6
)−1

则y=f(x)的最小正周期为:π.
由2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
(k∈z)得
kπ-
π
3
≤x≤kπ+
π
6
,k∈z,
∴y=f(x)的单调递增区间为:[kπ-
π
3
,kπ+
π
6
](k∈z),
(2)由x∈[-
12
π
3
],可得
3
≤2x+
π
6
6

考察函数y=sinx,易知−1≤sin(2x+
π
6
)≤1

于是−3≤2sin(2x+
π
6
)−1≤1
.  
故y=f(x)的取值范围为:[-3,1].
(I)利用倍角公式和两角差的正弦公式化简解析式,再求出函数的最小正周期,根据正弦函数的增区间,求出此函数的增区间;
(II)由x的范围求出相位的范围,再由正弦函数的性质求出函数的最大值和最小值.

三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法;复合三角函数的单调性.

本题考查了倍角公式和两角差的正弦公式,正弦函数的性质应用,属于中档题,

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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